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圆锥曲线
抛物线、椭圆、双曲线的标准方程与几何要素。点击标题展开或收起。

● 抛物线

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x y F l
$y^2 = 2px\ (p>0)$
$F\left(\dfrac{p}{2},0\right)$
$x = -\dfrac{p}{2}$
$e = 1$
常用结论
$|PF| = x_0 + \dfrac{p}{2}$
$|AB| = x_1 + x_2 + p$
$|HH'| = 2p$
$y_0y = p(x + x_0)$
$x = 2pt^2,\ y = 2pt$
  • p：焦准距（焦点到准线的距离）
  • F：焦点，l：准线
  • x₀：点 P 的横坐标；x₁, x₂：焦点弦 AB 端点横坐标；H, H'：通径端点
  • 顶点在原点，开口向右

● 椭圆

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F₁ F₂ A₁ A₂ B₁ B₂ x y
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a>b)$
$c^2 = a^2 - b^2$
$F_1(-c,0),\ F_2(c,0)$
$e = \dfrac{c}{a}\ (0<e<1)$
常用结论
$|PF_1| + |PF_2| = 2a$
$|PF_1| = a + ex_0,\ |PF_2| = a - ex_0$
$x = \pm \dfrac{a^2}{c}$
$|HH'| = \dfrac{2b^2}{a}$
$\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$
$x = a\cos\theta,\ y = b\sin\theta$
  • a：半长轴，b：半短轴
  • c：半焦距，满足 $c^2=a^2-b^2$
  • e：离心率，$0<e<1$
  • A₁,A₂：长轴顶点，B₁,B₂：短轴顶点
  • P(x₀,y₀)：椭圆上任意一点；H, H'：通径端点

● 双曲线

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F₁ F₂ A₁ A₂ x y
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
$c^2 = a^2 + b^2$
$F_1(-c,0),\ F_2(c,0)$
$e = \dfrac{c}{a}\ (e>1)$
常用结论
$||PF_1| - |PF_2|| = 2a$
$y = \pm \dfrac{b}{a}x$
$x = \pm \dfrac{a^2}{c}$
$|HH'| = \dfrac{2b^2}{a}$
$\dfrac{x_0x}{a^2} - \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$
$x = a\sec\theta,\ y = b\tan\theta$
  • a：半实轴，b：半虚轴
  • c：半焦距，满足 $c^2=a^2+b^2$
  • e：离心率，$e>1$
  • A₁,A₂：实轴顶点；P(x₀,y₀)：双曲线上一点；H, H'：通径端点
  • 渐近线斜率为 $\pm \dfrac{b}{a}$
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